MATEMÁTICAS

EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS 6° TERCER PERIODO  
MARTES 5 DE NOVIEMBRE

MATEMÁTICAS

✅ Representación y clasificación de fracciones.

Ver Video: Representación de fracciones 

Ver Video: Tipos o clasificaciones de fracciones

✅ Operaciones básicas con fracciones

Ver Video: Suma y resta de fracciones homogéneas 

Ver Video: Suma y resta de fracciones heterogéneas

Ver Video: Multiplicación y división de fracciones

✅ Números decimales

Ver Video: Números decimales, introducción

Ver Video: Orden en los números decimales

ESTADÍSTICA 

✅ Probabilidad de un evento.

Ver Video: Ejemplo 1 de probabilidad

Ver Video: Ejemplo 2 de probabilidad

GEOMETRÍA 

✅ Plano cartesiano.

Ver Video: Ejemplo 1. Ubicación de coordenadas en el plano

Ver Video: Ejemplo 2. Ubicación de coordenadas en el plano

✅ Transformaciones en el plano cartesiano.

Ver Video: Traslación en el plano cartesiano

Ver Video: Rotación en el plano cartesiano

Ver Video: Reflexión en el plano cartesiano

ESTADÍSTICA

Tema: PROBABILIDAD DE UN EVENTO 

La probabilidad es la posibilidad de que ocurra un evento o suceso. Nos ayuda a saber qué tan probable o posible es que algo suceda. Se expresa como un número que va desde 0 (cuando no puede ocurrir) hasta 1 (cuando es seguro que ocurrirá). También puede expresarse como un porcentaje, de 0% a 100%.

Características de la Probabilidad

1. Valor entre 0 y 1: Si un evento es imposible, su probabilidad es 0. Si es seguro, su probabilidad es 1.
2. Expresión en fracción o porcentaje: La probabilidad se puede representar como fracción, decimal o porcentaje.
3. Suma de probabilidades: En eventos opuestos (por ejemplo, ganar o perder en un juego), la suma de sus probabilidades es igual a 1.

Condiciones de la Probabilidad

• Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda, los resultados posibles son "cara" o "sello".
• Evento: Es el resultado específico que queremos observar. Por ejemplo, obtener "cara" en el lanzamiento de una moneda.

Fórmula Básica de la Probabilidad

La probabilidad de que ocurra un evento se calcula así:

$$\text{Probabilidad (P)} = \frac{\text{Número de resultados favorables}}{\text{Número total de resultados posibles}}$$

Ejemplo

Si lanzamos una moneda, queremos saber la probabilidad de obtener "cara":

1. El número de resultados favorables (cara) es 1.
2. El número total de resultados posibles (cara y sello) es 2.

Entonces:

$$P(\text{cara}) = \frac{1}{2} = 0,5 \text{ o } 50\%$$

En el anterior cálculo se  logra observar que hay un 50% de probabilidad de que salga "cara" al lanzar la moneda.

NOTA: Para convertir el número decimal a porcentaje, simplemente multiplicamos el decimal por 100%:

$$0,5 \times 100 = 50\%$$

FÍSICA

Tema: MOVIMIENTOS EN DOS DIMENSIONES

El movimiento en dos dimensiones es aquel en el que un objeto se desplaza simultáneamente en dos direcciones, típicamente en un plano horizontal y vertical (como los ejes x e y). Este tipo de movimiento combina componentes de velocidad y aceleración en ambas direcciones, y se analiza separando el movimiento en cada eje de forma independiente. Un ejemplo clásico es el tiro parabólico, donde un objeto es lanzado en un ángulo y sigue una trayectoria en forma de parábola debido a la combinación de su velocidad inicial y la aceleración de la gravedad que actúa solo en la dirección vertical.

Tiro parabólico: horizontal y oblicuo

El tiro parabólico, también conocido como tiro oblicuo, es un tipo de movimiento en dos dimensiones donde un objeto es lanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con respecto a la horizontal. La combinación de la velocidad inicial y la aceleración de la gravedad (que actúa únicamente en la dirección vertical) hace que el objeto describa una trayectoria en forma de parábola. Este tipo de movimiento es un ejemplo de la superposición de movimientos rectilíneos: uno en la dirección horizontal, con velocidad constante (ya que no hay aceleración en esta dirección en ausencia de fricción), y otro en la dirección vertical, donde el objeto experimenta una aceleración constante debido a la gravedad.

Algunos elementos importantes del tiro parabólico incluyen:

1. Ángulo de lanzamiento: Este determina la forma y el alcance de la parábola. Un ángulo de 45° generalmente maximiza el alcance del proyectil en ausencia de resistencia del aire.
2. Velocidad inicial: La velocidad con la que se lanza el objeto influye tanto en el alcance como en la altura máxima.
3. Componentes de la velocidad inicial: La velocidad inicial se descompone en componentes horizontal ($v_{0x}$) y vertical ($v_{0y}$), que determinan el movimiento en cada eje.
4. Altura máxima y tiempo de vuelo: Estos parámetros dependen del ángulo y la velocidad inicial y describen el punto más alto de la trayectoria y el tiempo total que el objeto permanece en el aire.
5. Alcance horizontal: Es la distancia total que el objeto recorre en el eje horizontal antes de tocar el suelo.

Ejemplo: Imagina un futbolista que patea un balón con una velocidad inicial de 20 m/s en un ángulo de 30° respecto a la horizontal. Para analizar este caso, se pueden calcular la altura máxima alcanzada por el balón, el tiempo total que permanece en el aire, y el alcance horizontal antes de caer. Este ejemplo permite cubrir los conceptos de descomposición de vectores, movimiento independiente en cada eje, y el efecto de la gravedad en el componente vertical del movimiento.

Ecuaciones

Este tipo de movimiento puede descomponerse en dos componentes: uno horizontal y uno vertical.

1. Descomposición de la velocidad inicial:

   Si un objeto es lanzado con una velocidad inicial $v_0$ en un ángulo $\theta$ respecto a la horizontal, sus componentes de velocidad inicial serán:

   $$v_{0x} = v_0 \cos(\theta)$$
   $$v_{0y} = v_0 \sin(\theta)$$
   

2. Ecuaciones de movimiento en el eje horizontal ($x$):

   Como no hay aceleración horizontal en el tiro parabólico (suponiendo que no hay resistencia del aire), la velocidad en el eje $x$ permanece constante:

   $$x = v_{0x} \cdot t = (v_0 \cos(\theta)) \cdot t$$
   

3. Ecuaciones de movimiento en el eje vertical ($y$):

   En el eje vertical, la gravedad actúa como una aceleración constante hacia abajo, igual a $g$(aproximadamente $9.8 \, \text{m/s}^2$ en la Tierra):

   • La posición vertical en función del tiempo es: $$y = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = (v_0 \sin(\theta)) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$$
     
   • La velocidad vertical en función del tiempo es: $$v_y = v_{0y} - g \cdot t = (v_0 \sin(\theta)) - g \cdot t$$
     

4. Altura máxima:

   La altura máxima $y_{\text{max}}$ se alcanza cuando la velocidad vertical $v_y$ es igual a cero. El tiempo $t_{\text{max}}$ en el que se alcanza esta altura es:

   $$t_{\text{max}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{v_0 \sin(\theta)}{g}$$

   La altura máxima se calcula al sustituir $t_{\text{max}}$ en la ecuación de $y$:

   $$y_{\text{max}} = (v_0 \sin(\theta)) \cdot \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} - \frac{1}{2} g \left( \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} \right)^2$$
   

   Simplificando:

   $$y_{\text{max}} = \frac{(v_0 \sin(\theta))^2}{2g}$$

5. Tiempo total de vuelo:

   El tiempo total $t_{\text{vuelo}}$ que el proyectil permanece en el aire ocurre cuando regresa al mismo nivel desde el que fue lanzado, y se calcula con:

   $$t_{\text{vuelo}} = \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g}$$

6. Alcance horizontal:

   El alcance horizontal $R$ es la distancia total que recorre el proyectil en el eje $x$ durante su vuelo y se obtiene con:

   $$R = v_{0x} \cdot t_{\text{vuelo}} = (v_0 \cos(\theta)) \cdot \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g}$$

   Simplificando, el alcance es:

   $$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

Estas ecuaciones permiten analizar el tiro parabólico en términos de posición y velocidad en cada instante de tiempo.

MATEMÁTICAS

Tema: OPERACIONES CON FRACCIONES

Concepto: 

Las operaciones básicas con fracciones son las mismas que se realizan con números naturales, pero con reglas específicas debido a la estructura de las fracciones (numerador y denominador). Estas operaciones son:

Suma y resta de fracciones

Para sumar y restar fracciones se deben tener en cuenta los siguientes casos:

• Suma y resta de fracciones homogéneas (fracciones con igual denominador): Se suman o restan, según el caso, los numeradores y se deja el mismo denominador.

Ejemplo:

• Suma y resta de fracciones heterogéneas (fracciones con diferente denominador): Se busca un denominador común (mínimo común múltiplo, MCM), se convierten las fracciones, y luego se suman o restan los numeradores.

Ejemplo:

    

Primero, se determina el MCM (4 , 6)  

 

Segundo, se convierten las fracciones de tal manera que cada denominador de cada fracción sea 12. Para ello, se amplifica cada fracción multiplicando tanto el numerador como el denominador por el mismo factor, así:

   

Tercero, las fracciones resultantes (fracciones con igual denominador), se suman o restan como fracciones homogéneas, procedimiento explicado anteriormente.

En general, el procedimiento al sumar o restar fracciones heterogéneas, es así:

 

Multiplicación de fracciones

Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Si es posible, se simplifica el resultado.

Ejemplos:

• $\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$

• $\frac{4}{7}\times \frac{5}{9}=\frac{20}{63}$

• $\frac{3}{8} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$

División de fracciones

Se multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción.

Ejemplos:

• $\frac{5}{6}÷\frac{2}{3}=\frac{5}{6}\times \frac{3}{2}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}<br>$
​
• $\frac{7}{8}÷\frac{1}{2}=\frac{7}{8}\times \frac{2}{1}=\frac{14}{8}=\frac{7}{4}$

• $\frac{3}{5} \div \frac{4}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{4} = \frac{21}{20}$

Problemas de aplicación

1. Suma de fracciones: Camila tiene $\frac{2}{3}$ de un pastel y Juan tiene $\frac{1}{6}$ del mismo pastel. ¿Qué fracción representa la cantidad de pastel que tienen entre los dos?

   Solución:

   $$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

   R/ Tienen $\frac{5}{6}$ del pastel.

2. Resta de fracciones: Un tanque de agua está lleno hasta $\frac{7}{8}$ de su capacidad. Si se usan $\frac{3}{8}$ del agua, ¿Qué fracción representa cuánta agua queda en el tanque?

   Solución:

   $$\frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

   R/ Queda $\frac{1}{2}$ del agua en el tanque.

3. Multiplicación de fracciones: Si un terreno rectangular tiene un ancho de $\frac{3}{4}$ metros y un largo de $\frac{2}{5}$ metros, ¿Qué fracción representa el área del terreno?

   Solución:

   $$\text{Área} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \, \text{metros cuadrados}$$

   R/ El área es $\frac{3}{10}$ metros cuadrados.

4. División de fracciones: Laura tiene $\frac{5}{6}$ de una pizza y quiere dividirla en porciones de $\frac{1}{3}$ de pizza cada una. ¿Cuál es la fracción que corresponde a la cantidad de porciones que puede obtener?

   Solución:

   $$\frac{5}{6} \div \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{1} = \frac{15}{6} = 2 \frac{1}{2}$$
   

   R/ Laura puede obtener 2 porciones completas y media porción 

GEOMETRÍA

Tema: TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Definición: Las transformaciones básicas en el plano son operaciones que permiten modificar la posición o la forma de figuras geométricas sin alterar algunas de sus propiedades fundamentales, como la forma o el tamaño, en algunos casos. Las principales transformaciones son la traslación, la rotación, la reflexión y la dilatación. A continuación, te explico cada una con ejemplos y problemas:

1. Traslación

Consiste en mover una figura a lo largo del plano sin rotarla ni cambiar su forma y tamaño. Todos los puntos de la figura se desplazan la misma distancia y en la misma dirección.

Ejemplo: Los vértices de △ABC cuyos vértices tienen coordenadas A(-1, 2), B(3, 2), y C(2, -1) se traslada 4 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba.

2. Rotación

Consiste en girar una figura alrededor de un punto fijo, que normalmente es el origen, pero puede ser cualquier otro punto del plano.

Ejemplo: El △ABC cuyos vértices tienen coordenadas A(1, 3), B(4, 3), y C(4, 1), es rotado o girado 90° sentido antihorario (sentido contrario a las manecillas del reloj) respecto al punto D (0,0).

3. Reflexión o simetría

Es una transformación que "refleja" una figura a través de una línea recta, llamada eje de reflexión. El tamaño y la forma de la figura no cambian, pero la orientación sí.

Ejemplo: El △ABC cuyos vértices tienen coordenadas A(-3, 3), B(-2, -1), y C(-1, 4) es reflejado 1 unidad respecto al eje vertical o eje y.

4. Dilatación (Escalamiento)

Es una transformación que amplía o reduce una figura, manteniendo su forma pero cambiando su tamaño. Se utiliza un punto fijo (normalmente el origen) y un factor de escala.

Ejemplo: El △ABC cuyos vértices tienen coordenadas A(2, 1), B(1, 3), y C(3, 2), es dilatado usando un factor de escala de 2 y un centro de dilatación en el punto D (origen).

ESTADÍSTICA

Tema: EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Definición: 

Un experimento aleatorio es una acción en la cual se conocen procedimientos y condiciones iniciales, así como posibles resultados, pero no es posible predecir con certeza cual será el resultado final de antemano. Los resultados dependen del azar y no se pueden controlar.

Características de un experimento aleatorio:

Incertidumbre: No se puede predecir el resultado con exactitud.

Múltiples resultados posibles: Cada vez que se realiza el experimento, puede haber diferentes resultados.

Probabilidad: Es posible asignar una probabilidad a cada uno de los resultados posibles.

Repetibilidad: Se puede repetir en las mismas condiciones, pero los resultados pueden variar.

Ejemplos:

1. Lanzar una moneda: Puede salir cara o cruz, pero no se puede predecir con certeza el resultado de un lanzamiento.
2. Lanzar un dado: El resultado puede ser cualquier número entre 1 y 6, pero no se sabe cuál saldrá en un lanzamiento.
3. Extraer una carta de una baraja: No se puede predecir qué carta se sacará de la baraja sin conocer previamente su posición exacta.

Experimento Determinista

Definición: 

Un experimento determinista es aquel en el que, dadas las mismas condiciones iniciales, siempre se obtiene el mismo resultado. No hay lugar para el azar, y el resultado es predecible.

Características de un experimento determinista:

Previsibilidad: Se puede predecir el resultado con exactitud si se conocen las condiciones iniciales.

Un único resultado: Para las mismas condiciones iniciales, siempre se obtiene el mismo resultado.

No hay azar: Los resultados están completamente determinados por las condiciones iniciales y las leyes que gobiernan el experimento.

Causalidad: El resultado es consecuencia directa de las condiciones iniciales.

Ejemplos:

1. Caída libre de un objeto: Si se deja caer un objeto desde una cierta altura, bajo condiciones controladas, siempre seguirá las leyes del movimiento y caerá al suelo.
2. Hervir agua a 100°C bajo presión atmosférica normal: El agua siempre hierve a la misma temperatura si las condiciones (presión y temperatura) son las mismas.
3. La trayectoria de un planeta alrededor del sol: Siguiendo las leyes de Kepler y la gravitación universal de Newton, se puede predecir con precisión el movimiento del planeta.

MATEMÁTICAS

Tema: LAS FRACCIONES

Concepto: 

Una fracción es una expresión de la forma 𝒂/𝑏 donde a y b son números naturales o enteros, y b es diferente de cero (𝑏≠0)

Además, 

• a: Numerador (partes que se toman).
• b: Denominador (partes en que se divide el todo).

SITUACIÓN 

Marina desea repartir su torta de cumpleaños entre ella y los 7 amigos que invitó, de forma que las partes sean iguales. Si 3 de ellos aún no han llegado ¿Qué fracción representa las porciones que va a repartir en ese momento?

Solución:

Como Marina desea repartir su torta, en partes iguales, entre ella y 7 amigos, entonces, debe dividirla en 8 partes así como se muestra en la imagen. 

Ahora, como no han llegado 3 de sus amigos y van a repartir la torta en ese momento, entonces, la cantidad de porciones a repartir es de 5 porciones, tal y como se observa en la siguiente imagen.

Por lo tanto, la fracción representa las porciones que va a repartir en ese momento es 5/8. Es decir,

 

Elementos de una fracción: 

Una fracción o número fraccionario tiene tres elementos:

El numerador, es el número superior de una fracción e indica el número de partes elegidas de la unidad o el todo.

El denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad y tiene que ser distinto de cero.

El vínculo o barra, es la línea del fraccionario que representa una división entre el numerador y el denominador

Ejemplo:

La fracción que corresponde a la parte pintada de cada figura es:

En este primer ejemplo la fracción es 2/3, donde el numerador es 2 y el denominador es 3. Esto significa que la unidad es dividida en 3 partes iguales, de las cuales 2 partes (color verde) son tomadas de la unidad.

Para este segundo ejemplo la fracción es 4/6, donde el numerador es 4 y el denominador es 6. Esto significa que la unidad es dividida en 6 partes iguales , de las cuales 4 partes (color verde) son tomadas de la unidad.

    

En este tercer ejemplo la fracción es 8/5, donde el numerador es 8 y el denominador es 5. Esto significa que la unidad es dividida en 5 partes iguales, pero como el numerador es mayor que el denominador, entonces, es necesario de otra unidad para completar las 8 partes (color verde) que son tomadas del todo.

Clasificación de las Fracciones

Las fracciones se clasifican en:

Fracciones propias: son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor representa un número menor que la unidad (entre cero y uno).

Ejemplo: 

Fracciones unidad: son aquellas cuyo numerador y denominador tienen el mismo valor. Su valor representa una unidad completa (igual a uno).

Ejemplo: 

Fracciones impropias: son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor representa un número mayor que la unidad completa (mayor a uno).

Ejemplo: 

Fracciones enteras: son aquellas cuyo numerador es múltiplo del denominador. Su valor representa un número exacto de unidades completas (1 unidad, 2 unidades, 3 unidades, ...).

Ejemplo: 

Números mixtos: 

Los números mixtos son aquellos que se componen de un número entero y una fracción propia (es decir, una fracción en la que el numerador es menor que el denominador). Se utilizan para representar cantidades que no son enteras, pero que son mayores que uno.

Por ejemplo, el número mixto $3 \frac{2}{5}$ representa la cantidad de tres enteros más dos quintos.

1                               2

3                                 

Estructura de un número mixto:

• Parte entera: Un número entero.

• Parte fraccionaria: Una fracción propia.

Ejemplo:

El número $2 \frac{1}{4}$ se interpreta como:

• Parte entera: 2.

• Parte fraccionaria: $\frac{1}{4}$

Esto equivale a $2+\frac{1}{4}=\frac{8}{4}+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$

En general, la estructura de un número mixto es:

Conversión de número mixto a fracción impropia:

Para convertir un número mixto a una fracción impropia, se multiplica el número entero por el denominador de la fracción y se le suma el numerador. Luego, el resultado se coloca sobre el mismo denominador.

Ejemplo: $2 \frac{3}{5}$ se convierte en $\frac{(2 \times 5) + 3}{5} = \frac{13}{5}$.