FÍSICA

Tema: MOVIMIENTOS EN DOS DIMENSIONES

El movimiento en dos dimensiones es aquel en el que un objeto se desplaza simultáneamente en dos direcciones, típicamente en un plano horizontal y vertical (como los ejes x e y). Este tipo de movimiento combina componentes de velocidad y aceleración en ambas direcciones, y se analiza separando el movimiento en cada eje de forma independiente. Un ejemplo clásico es el tiro parabólico, donde un objeto es lanzado en un ángulo y sigue una trayectoria en forma de parábola debido a la combinación de su velocidad inicial y la aceleración de la gravedad que actúa solo en la dirección vertical.

Tiro parabólico: horizontal y oblicuo

El tiro parabólico, también conocido como tiro oblicuo, es un tipo de movimiento en dos dimensiones donde un objeto es lanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con respecto a la horizontal. La combinación de la velocidad inicial y la aceleración de la gravedad (que actúa únicamente en la dirección vertical) hace que el objeto describa una trayectoria en forma de parábola. Este tipo de movimiento es un ejemplo de la superposición de movimientos rectilíneos: uno en la dirección horizontal, con velocidad constante (ya que no hay aceleración en esta dirección en ausencia de fricción), y otro en la dirección vertical, donde el objeto experimenta una aceleración constante debido a la gravedad.

Algunos elementos importantes del tiro parabólico incluyen:

1. Ángulo de lanzamiento: Este determina la forma y el alcance de la parábola. Un ángulo de 45° generalmente maximiza el alcance del proyectil en ausencia de resistencia del aire.
2. Velocidad inicial: La velocidad con la que se lanza el objeto influye tanto en el alcance como en la altura máxima.
3. Componentes de la velocidad inicial: La velocidad inicial se descompone en componentes horizontal ($v_{0x}$) y vertical ($v_{0y}$), que determinan el movimiento en cada eje.
4. Altura máxima y tiempo de vuelo: Estos parámetros dependen del ángulo y la velocidad inicial y describen el punto más alto de la trayectoria y el tiempo total que el objeto permanece en el aire.
5. Alcance horizontal: Es la distancia total que el objeto recorre en el eje horizontal antes de tocar el suelo.

Ejemplo: Imagina un futbolista que patea un balón con una velocidad inicial de 20 m/s en un ángulo de 30° respecto a la horizontal. Para analizar este caso, se pueden calcular la altura máxima alcanzada por el balón, el tiempo total que permanece en el aire, y el alcance horizontal antes de caer. Este ejemplo permite cubrir los conceptos de descomposición de vectores, movimiento independiente en cada eje, y el efecto de la gravedad en el componente vertical del movimiento.

Ecuaciones

Este tipo de movimiento puede descomponerse en dos componentes: uno horizontal y uno vertical.

1. Descomposición de la velocidad inicial:

   Si un objeto es lanzado con una velocidad inicial $v_0$ en un ángulo $\theta$ respecto a la horizontal, sus componentes de velocidad inicial serán:

   $$v_{0x} = v_0 \cos(\theta)$$
   $$v_{0y} = v_0 \sin(\theta)$$
   

2. Ecuaciones de movimiento en el eje horizontal ($x$):

   Como no hay aceleración horizontal en el tiro parabólico (suponiendo que no hay resistencia del aire), la velocidad en el eje $x$ permanece constante:

   $$x = v_{0x} \cdot t = (v_0 \cos(\theta)) \cdot t$$
   

3. Ecuaciones de movimiento en el eje vertical ($y$):

   En el eje vertical, la gravedad actúa como una aceleración constante hacia abajo, igual a $g$(aproximadamente $9.8 \, \text{m/s}^2$ en la Tierra):

   • La posición vertical en función del tiempo es: $$y = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = (v_0 \sin(\theta)) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$$
     
   • La velocidad vertical en función del tiempo es: $$v_y = v_{0y} - g \cdot t = (v_0 \sin(\theta)) - g \cdot t$$
     

4. Altura máxima:

   La altura máxima $y_{\text{max}}$ se alcanza cuando la velocidad vertical $v_y$ es igual a cero. El tiempo $t_{\text{max}}$ en el que se alcanza esta altura es:

   $$t_{\text{max}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{v_0 \sin(\theta)}{g}$$

   La altura máxima se calcula al sustituir $t_{\text{max}}$ en la ecuación de $y$:

   $$y_{\text{max}} = (v_0 \sin(\theta)) \cdot \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} - \frac{1}{2} g \left( \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} \right)^2$$
   

   Simplificando:

   $$y_{\text{max}} = \frac{(v_0 \sin(\theta))^2}{2g}$$

5. Tiempo total de vuelo:

   El tiempo total $t_{\text{vuelo}}$ que el proyectil permanece en el aire ocurre cuando regresa al mismo nivel desde el que fue lanzado, y se calcula con:

   $$t_{\text{vuelo}} = \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g}$$

6. Alcance horizontal:

   El alcance horizontal $R$ es la distancia total que recorre el proyectil en el eje $x$ durante su vuelo y se obtiene con:

   $$R = v_{0x} \cdot t_{\text{vuelo}} = (v_0 \cos(\theta)) \cdot \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g}$$

   Simplificando, el alcance es:

   $$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

Estas ecuaciones permiten analizar el tiro parabólico en términos de posición y velocidad en cada instante de tiempo.