MATEMÁTICAS

Tema: NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS 

Los números primos y los números compuestos son dos tipos de números enteros que se diferencian por la cantidad de divisores que poseen.

Números Primos: Un número primo es un número entero mayor que 1 que solo tiene dos divisores: 1 y él mismo. En otras palabras, un número primo no puede ser dividido exactamente por ningún otro número entero positivo aparte de 1 y de sí mismo. 

Algunos ejemplos de números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, y así sucesivamente.

Números Compuestos: Un número compuesto es un número entero mayor que 1 que tiene más de dos divisores. Esto significa que un número compuesto puede ser dividido exactamente por al menos un número entero positivo además de 1 y de sí mismo. 

Ejemplos de números compuestos son 4, 6, 8, 9, 12, 15, entre otros. 

Ejemplos

1. El número 7

   • D7 ={1, 7}.
   • Explicación: El número 7 solo puede ser dividido exactamente por 1 y por 7. No tiene otros divisores. Por lo tanto, 7 es un número primo.

2. El número 9

   • D9 ={1, 3, 9}.
   • Explicación: El número 9 puede ser dividido exactamente por 1, por 3 y por 9. Como tiene más de dos divisores, 9 es un número compuesto.

3. El número 11

• D11 ={1, 11}.
• Explicación: El número 11 solo puede ser dividido exactamente por 1 y por 11. No tiene otros divisores, por lo que 11 es un número primo.

Descomposición de un número en factores primos

La descomposición en factores primos es el proceso de expresar un número entero como un producto de números primos. Es importante recordar que un número primo es un número que solo tiene dos divisores: 1 y él mismo. El objetivo de la descomposición en factores primos es descomponer un número compuesto (un número que tiene más de dos divisores) en un producto de números primos. Este proceso es útil en varios contextos matemáticos, como en la simplificación de fracciones, la resolución de problemas de divisibilidad y el cálculo del mínimo común múltiplo (MCM) o el máximo común divisor (MCD).

Ejemplos

1. Descomposición del número 60

   • Comenzamos dividiendo el número 60 por el menor número primo, que es 2:
     $$60 \div 2 = 30$$
     
   • Luego, dividimos 30 por 2 nuevamente: $$30 \div 2 = 15$$
     
   • El número 15 no es divisible por 2, por lo que pasamos al siguiente número primo, que es 3:
     $$15 \div 3 = 5$$
     
   • Finalmente, 5 es un número primo, así que terminamos el proceso. La descomposición en factores primos de 60 es:
     $$60 = 2^2 \times 3 \times 5$$
     

2. Descomposición del número 84

   • Dividimos 84 por 2: $$84 \div 2 = 42$$
     
   • Dividimos 42 por 2 nuevamente: $$42 \div 2 = 21$$
     
   • El número 21 no es divisible por 2, así que usamos el siguiente número primo, 3:
     $$21 \div 3 = 7$$
     
   • Como 7 es un número primo, hemos terminado. La descomposición en factores primos de 84 es:
     $$84 = 2^2 \times 3 \times 7$$
     

3. Descomposición del número 100

   • Dividimos 100 por 2: $$100 \div 2 = 50$$
     
   • Dividimos 50 por 2 nuevamente: $$50 \div 2 = 25$$
     
   • El número 25 no es divisible por 2, por lo que pasamos al siguiente número primo, 3, que tampoco es divisor de 25. Pasamos entonces al siguiente número primo, 5:
     $$25 \div 5 = 5$$
     
   • Como 5 es un número primo, terminamos el proceso. La descomposición en factores primos de 100 es:
     $$100 = 2^2 \times 5^2$$

Una forma común, sencilla y organizada para descomponer un número en factores primos es el método vertical. A continuación, se describen los pasos para utilizar este método:

Pasos del Método Vertical

1. Escribe el número a descomponer:

   • Coloca el número en la parte superior y a la izquierda de una línea vertical o barra vertical. A la derecha de la barra, colocarás los factores primos que vayas obteniendo.

2. Divide el número por el menor número primo posible:

   • Comienza dividiendo el número por el menor número primo, que es 2. Si el número es divisible entre 2 (es decir, si es par), escribe 2 a la derecha de la barra y el cociente debajo del número original. Si el número no es divisible por 2, entonces, busca el siguiente número primo (3, 5, 7...) que divida al número original. 

3. Continúa dividiendo el cociente por números primos:

   • Toma el cociente obtenido y vuelve a dividirlo por el menor número primo posible (puede ser nuevamente 2, o 3 si ya no es divisible entre 2, y así sucesivamente). Escribe el nuevo cociente debajo del anterior y el número primo divisor a la derecha de la barra.

4. Repite el proceso hasta llegar a 1:

   • Sigue dividiendo el último cociente por números primos hasta que obtengas 1 como cociente. Cada número primo divisor que utilices se anota a la derecha de la barra.

5. Multiplica los números primos obtenidos:

• Los números primos que has anotado a la derecha de la barra son los factores primos del número original. El número original es el producto de estos factores primos.

A continuación, se muestran las descomposiciones en factores primos de los números 60, 84 y 100 usando el método vertical.