MATEMÁTICAS

Tema: MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Definición:

El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números es el número más pequeño que es múltiplo de todos esos números. Es decir, es el múltiplo más bajo que comparten dos o más números.

Ejemplo 1:

Encuentra el MCM de 4 y 6.

Los múltiplos de 4 son: M4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}

Los múltiplos de 6 son: M6 = {6, 12, 18, 24, ...}

Los múltiplos que tienen en común el 4 y el 6 son el 12 y el 24, siendo el 12 el menor de los múltiplos, o en otras palabras, es el primer número que aparece en ambas listas de múltiplos . Por lo tanto, el MCM del 4 y el 6 es el 12. Esto se escribe o representa así MCM (4, 6) = 12

Ejemplo 2:

Encuentra el MCM de 3, 5 y 15.

Los múltiplos de 3 son: M3 = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... }

Los múltiplos de 5 son: M5 = {5, 10, 15, 20, 25, ... }

Los múltiplos de 15 son: M15 = {15, 30, 45, ... }

Los múltiplos que tienen en común el 3, 5 y 15 es 15 porque es el número más pequeño que aparece en todas las listas. Entonces, MCM (3, 5, 15) = 15 

Máximo Común Divisor (MCD)

Definición:

El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande que divide exactamente a todos esos números, es decir, el divisor común más grande.

Ejemplo 1:

Encuentra el MCD de 8 y 12.

Los divisores de 8 son: D8 = {1, 2, 4, 8}

Los divisores de 12 son: D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Los divisores que tienen en común el 8 y 12 son el 1, 2 y 4, siendo este último número el divisor común más grande entre ambos. Por lo tanto, el MCD del 8 y el 12 es el 4. Esto se escribe o representa así MCD (8, 12) = 4

Ejemplo 2:

Encuentra el MCD de 18 y 24.

Los divisores de 18 son: D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Los divisores de 24 son: D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Por lo tanto, El MCD de 18 y 24 es 6. Es decir, MCD (18, 24) = 6

Casos en los que debo aplicar m.c.m. o m.c.d. para resolver problemas.

Problemas que se resuelven a través de m.c.m.

• Coincidencia: Cuando dos o más eventos coinciden al mismo tiempo.
• Ciclo repetitivo: Situaciones que se repiten cada cierto intervalo.
• Frecuencia común: Encontrar cuándo algo ocurre al mismo tiempo o con la misma frecuencia.
• Menor intervalo común: El tiempo o la cantidad más pequeña que permite que dos o más eventos ocurran simultáneamente.
• Sincronizar: Hacer que dos o más eventos sucedan al mismo tiempo.
• Múltiplos o repeticiones: Referente a eventos o cantidades que se repiten.

Problemas que se resuelven a través de m.c.d.

• Distribuir equitativamente: Repartir algo en partes iguales entre grupos.
• Mayor cantidad posible: Encontrar la mayor cantidad que permite una distribución igual.
• Divisiones exactas: Cuando se quiere dividir algo (tiempo, espacio, objetos) en partes iguales sin que sobre nada.
• Agrupar: Formar grupos con la misma cantidad de elementos.
• Reducir a partes más pequeñas: Encontrar el número más grande que divide uniformemente a todos los elementos.
• Simplificar: En contextos de simplificación de fracciones, o al reducir algo a su mínima expresión.

Problemas Relacionados con MCM y MCD

Problema 1:

Tres amigos deciden que se encontrarán cada 4, 6 y 8 días respectivamente. Si se encuentran hoy, ¿cuántos días pasarán antes de que se encuentren todos juntos nuevamente?

Solución:

Esto es un problema de MCM. Debemos encontrar el MCM de 4, 6 y 8.

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, ...

Múltiplos de 8: 8, 16, 24, ...

El MCM es 24, por lo que se encontrarán nuevamente en 24 días.

Problema 2:

Dos relojes suenan a la vez. Uno suena cada 9 horas y el otro cada 12 horas. ¿Cuántas horas pasarán hasta que vuelvan a sonar juntos?

Solución:

Esto también es un problema de MCM. Debemos encontrar el MCM de 9 y 12.

Múltiplos de 9: 9, 18, 27, 36, ...

Múltiplos de 12: 12, 24, 36, ...

El MCM es 36, por lo que pasarán 36 horas hasta que suenen juntos de nuevo.

Problema 3:

Un granjero tiene 18, 24 y 30 árboles y quiere organizar los árboles en filas con la misma cantidad de árboles en cada fila. ¿Cuál es la cantidad máxima de árboles que puede tener cada fila?

Solución:

Este es un problema de MCD. Debemos encontrar el MCD de 18, 24 y 30.

Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

El MCD es 6, por lo que el granjero puede organizar los árboles en filas de 6.